La proportionnalité : la vitesse moyenne est une notion essentielle en mathématiques pour comprendre la relation entre la distance parcourue et la durée d’un trajet. Dans la vie quotidienne, nous utilisons souvent la vitesse moyenne pour comparer des déplacements : une voiture, un cycliste ou même un piéton ne parcourent pas la même distance en un même temps.
Dans ce cours clair et progressif, tu apprendras à calculer la vitesse moyenne, à utiliser les situations de proportionnalité, et à appliquer correctement les formules reliant la distance, le temps et la vitesse. Des exemples simples, des exercices d’application et des PDF corrigés t’aideront à bien comprendre et à t’entraîner efficacement.
Table of Contents
Qu’est-ce que la vitesse moyenne ?
La vitesse moyenne permet de mesurer la rapidité d’un déplacement. Elle indique la distance parcourue par un objet ou une personne pendant une durée donnée lorsque le mouvement est régulier. On parle alors de mouvement uniforme.
En mathématiques, la vitesse moyenne dépend de trois grandeurs. La distance parcourue, notée D, est exprimée en kilomètres. La durée du trajet, notée T, est exprimée en heures. La vitesse moyenne, notée V, est exprimée en kilomètres par heure.
Ces trois grandeurs sont liées par une situation de proportionnalité. Lorsque la durée augmente, la distance parcourue augmente également si la vitesse reste constante.
Définition
Lorsqu’un objet parcourt une distance D en un temps T, sa vitesse moyenne V est donnée par la relation suivante : V=DTV = \dfrac{D}{T}V=TD
Exemple
Si une voiture parcourt 60 kilomètres en 1 heure, alors sa vitesse moyenne est de 60 kilomètres par heure.
La vitesse moyenne et la proportionnalité
La vitesse moyenne est directement liée à une situation de proportionnalité. En effet, lorsque la vitesse reste constante, la distance parcourue est proportionnelle à la durée du trajet.
Cela signifie que si on multiplie la durée par un nombre, la distance parcourue est multipliée par ce même nombre. La vitesse moyenne reste alors la même.
Par exemple, si un véhicule roule à vitesse constante, parcourir deux fois plus de temps permet de parcourir deux fois plus de distance. Cette relation montre clairement que la distance et la durée sont proportionnelles.
On peut représenter cette situation à l’aide d’un tableau de proportionnalité. Dans ce tableau, la distance et la durée sont organisées de façon à faire apparaître un coefficient de proportionnalité. Ce coefficient correspond à la vitesse moyenne.
Ainsi, dans une situation de proportionnalité liée à la vitesse moyenne, on peut utiliser les relations suivantes pour calculer la valeur manquante. La vitesse moyenne permet de passer de la durée à la distance, et inversement.
Comprendre ce lien entre vitesse moyenne et proportionnalité aide à résoudre plus facilement les problèmes de déplacement et à choisir la bonne formule de calcul.
Les formules de la vitesse moyenne
La vitesse moyenne repose sur une relation de proportionnalité entre trois grandeurs. La distance parcourue, la durée du trajet et la vitesse moyenne. Selon la grandeur recherchée, on utilise une formule différente.
La formule principale de la vitesse moyenne est la suivante :
V = D ÷ T
Cette formule permet de calculer la vitesse moyenne lorsque la distance parcourue et la durée du trajet sont connues.
À partir de cette relation, on peut déduire deux autres formules utiles.
Pour calculer la distance parcourue, on utilise la formule :
D = V × T
Cette formule est utilisée lorsque la vitesse moyenne et la durée du trajet sont connues.
Pour calculer la durée du trajet, on utilise la formule :
T = D ÷ V
Cette formule est utilisée lorsque la distance parcourue et la vitesse moyenne sont connues.
Il est très important de bien identifier la grandeur que l’on cherche avant de choisir la formule. Une erreur fréquente consiste à utiliser une formule qui ne correspond pas à la question posée.
Ces formules montrent que la vitesse moyenne est au cœur des situations de proportionnalité. Elles permettent de passer facilement d’une grandeur à une autre en respectant la relation proportionnelle entre la distance et la durée.
Exemple expliqué pas à pas
Un cycliste parcourt une distance de 30 kilomètres en 1 heure et 30 minutes. On cherche à calculer sa vitesse moyenne.
Première étape. Identifier les données.
La distance parcourue est de 30 kilomètres.
La durée du trajet est de 1 heure et 30 minutes.
Deuxième étape. Convertir la durée en heures.
30 minutes correspondent à 0,5 heure.
La durée totale du trajet est donc de 1,5 heure.
Troisième étape. Choisir la bonne formule.
On cherche la vitesse moyenne.
On utilise la formule :
V = D ÷ T
Quatrième étape. Effectuer le calcul.
V = 30 ÷ 1,5 = 20
Conclusion.
La vitesse moyenne du cycliste est de 20 kilomètres par heure.
Cet exemple montre l’importance des conversions et du choix de la formule adaptée pour résoudre une situation de proportionnalité liée à la vitesse moyenne.
Tableaux de proportionnalité et vitesse moyenne
Les tableaux de proportionnalité permettent de représenter clairement la relation entre la distance parcourue et la durée d’un trajet lorsque la vitesse moyenne est constante.
Dans un tableau de proportionnalité, chaque valeur de la distance correspond à une valeur de la durée. Le rapport entre ces deux grandeurs reste le même. Ce rapport correspond à la vitesse moyenne.
Prenons l’exemple d’un véhicule qui roule à une vitesse moyenne constante de 60 kilomètres par heure.
| Durée en heures | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| Distance en kilomètres | 60 | 120 | 180 |
On observe que lorsque la durée est multipliée par 2, la distance est également multipliée par 2. Lorsque la durée est multipliée par 3, la distance est multipliée par 3. La situation est donc proportionnelle.
Pour compléter un tableau de proportionnalité lié à la vitesse moyenne, il faut d’abord identifier la valeur connue. Ensuite, on applique la relation de proportionnalité pour trouver la valeur manquante, soit par multiplication, soit par division.
L’utilisation des tableaux de proportionnalité facilite la compréhension des problèmes de vitesse moyenne et permet de vérifier rapidement la cohérence des résultats obtenus.
Conversion des unités de vitesse
Dans les problèmes de vitesse moyenne, il est souvent nécessaire de convertir les unités afin d’utiliser correctement les formules. Les unités les plus courantes sont le kilomètre par heure et le mètre par seconde.
Une heure contient 60 minutes et chaque minute contient 60 secondes. Une heure correspond donc à 3600 secondes. Cette relation permet de passer d’une unité à l’autre.
Pour convertir une vitesse exprimée en mètres par seconde en kilomètres par heure, on multiplie par 3,6.
Pour convertir une vitesse exprimée en kilomètres par heure en mètres par seconde, on divise par 3,6.
Par exemple, une vitesse de 5 mètres par seconde correspond à 18 kilomètres par heure.
Une vitesse de 72 kilomètres par heure correspond à 20 mètres par seconde.
Ces conversions peuvent aussi être représentées à l’aide d’un tableau de proportionnalité entre les mètres et les kilomètres, ainsi qu’entre les secondes et les heures.
Bien maîtriser les conversions d’unités est indispensable pour éviter les erreurs de calcul et résoudre correctement les exercices portant sur la vitesse moyenne et la proportionnalité.
Exercices d’application
Exercice 1
Un marcheur parcourt 12 kilomètres en 2 heures.
- Quelle est sa vitesse moyenne en kilomètres par heure
- Si le marcheur conserve la même vitesse, quelle distance parcourra-t-il en 5 heures
Exercice 2
Un train roule à une vitesse moyenne de 90 kilomètres par heure.
- Quelle distance parcourt-il en 2 heures
- Combien de temps lui faudra-t-il pour parcourir 225 kilomètres
Exercice 3
Un cycliste parcourt 18 kilomètres en 45 minutes.
- Convertis la durée du trajet en heures
- Calcule la vitesse moyenne du cycliste en kilomètres par heure
Exercice 4
Une voiture parcourt 150 kilomètres à vitesse constante en 2 heures et 30 minutes.
- Convertis la durée du trajet en heures
- Calcule la vitesse moyenne de la voiture
Exercice 5
Un joggeur court à une vitesse moyenne de 10 kilomètres par heure.
- Quelle distance parcourt-il en 30 minutes
- Quelle distance parcourt-il en 1 heure et 15 minutes
Corrections des exercices
Correction de l’exercice 1
Le marcheur parcourt 12 km en 2 h.
On cherche la vitesse moyenne.
Formule utilisée :
V = D ÷ T
Calcul :
V = 12 ÷ 2 = 6
La vitesse moyenne du marcheur est de 6 km/h.
Pour la deuxième question, on cherche la distance parcourue en 5 h.
Formule utilisée :
D = V × T
Calcul :
D = 6 × 5 = 30
Le marcheur parcourt 30 km en 5 heures.
Correction de l’exercice 2
Le train roule à une vitesse moyenne de 90 km/h.
Première question
On cherche la distance parcourue en 2 heures.
Formule utilisée :
D = V × T
Calcul :
D = 90 × 2 = 180
Le train parcourt 180 kilomètres en 2 heures.
Deuxième question
On cherche la durée nécessaire pour parcourir 225 kilomètres.
Formule utilisée :
T = D ÷ V
Calcul :
T = 225 ÷ 90 = 2,5
2,5 heures correspondent à 2 heures et 30 minutes.
Le train met 2 heures et 30 minutes pour parcourir 225 kilomètres.
Correction de l’exercice 3
Le cycliste parcourt 18 km en 45 minutes.
On commence par convertir la durée en heures.
45 minutes = 0,75 heure.
On cherche la vitesse moyenne.
Formule utilisée :
V = D ÷ T
Calcul :
V = 18 ÷ 0,75 = 24
La vitesse moyenne du cycliste est de 24 km/h.
Correction de l’exercice 4
La voiture parcourt 150 km en 2 h 30 min.
On commence par convertir la durée en heures.
30 minutes = 0,5 heure
Durée totale = 2,5 heures.
On cherche la vitesse moyenne.
Formule utilisée :
V = D ÷ T
Calcul :
V = 150 ÷ 2,5 = 60
La vitesse moyenne de la voiture est de 60 km/h.
Correction de l’exercice 5
Le joggeur court à une vitesse moyenne de 10 km/h.
Première question
La durée est de 30 minutes, soit 0,5 heure.
Formule utilisée :
D = V × T
Calcul :
D = 10 × 0,5 = 5
Le joggeur parcourt 5 km en 30 minutes.
Deuxième question
La durée est de 1 h 15 min.
15 minutes = 0,25 heure
Durée totale = 1,25 heure.
Calcul :
D = 10 × 1,25 = 12,5
Le joggeur parcourt 12,5 km en 1 heure et 15 minutes.
Erreurs fréquentes à éviter
La première erreur consiste à oublier de convertir les unités. Par exemple, utiliser des minutes dans la formule alors que la vitesse est en km/h donne un résultat faux.
Une autre erreur fréquente est de choisir la mauvaise formule. Il faut toujours repérer ce que l’on cherche. Si on cherche la vitesse, on fait distance ÷ temps. Si on cherche la distance, on fait vitesse × temps. Si on cherche le temps, on fait distance ÷ vitesse.
Il arrive aussi que l’on confonde km/h et m/s. Dans ce cas, il faut convertir la vitesse avant de calculer.
Enfin, certains élèves oublient d’écrire l’unité du résultat. Une réponse sans unité est considérée comme incomplète.
Conseils pour réussir
Avant de commencer, lis bien l’énoncé et souligne les informations importantes. Note ensuite ce que tu cherches, puis choisis la formule adaptée.
Pense à convertir les durées en heures et, si nécessaire, à convertir les vitesses en km/h ou en m/s selon la question.
Après le calcul, vérifie si ton résultat est logique. Une vitesse moyenne très grande pour un piéton, par exemple, signifie qu’il y a probablement une erreur.
En t’entraînant régulièrement, tu vas gagner en rapidité et en confiance.
Le mot du prof
La vitesse moyenne est un excellent exemple de proportionnalité parce qu’elle relie directement trois grandeurs. Si tu maîtrises les formules et les conversions, tu réussiras facilement ce type d’exercices.
Le secret est simple. Toujours convertir avant de calculer et toujours vérifier l’unité à la fin. Avec cette méthode, tu éviteras la plupart des erreurs.
Télécharger les exercices en PDF
Pour t’entraîner davantage, tu peux télécharger le PDF contenant cinq exercices supplémentaires sur la vitesse moyenne et la proportionnalité.
Le PDF existe en deux versions. Une version avec les exercices seulement pour s’entraîner et une version avec les corrections détaillées pour se corriger et comprendre la méthode.
Télécharger le PDF des exercices
Conclusion
La proportionnalité et la vitesse moyenne permettent de comprendre facilement la relation entre la distance parcourue et la durée d’un trajet. En appliquant les bonnes formules et en respectant les conversions d’unités, il devient possible de résoudre efficacement les situations de déplacement rencontrées en mathématiques.
Les exemples et exercices corrigés présentés dans ce cours aident à consolider les acquis et à progresser pas à pas. Pour continuer à s’entraîner et découvrir d’autres méthodes visuelles, tu peux également retrouver des fiches et ressources partagées sur Pinterest, idéales pour réviser et mémoriser les notions importantes.
En pratiquant régulièrement, la vitesse moyenne et les situations de proportionnalité deviendront des notions simples et accessibles.
FAQ ( La proportionnalité : la vitesse moyenne)
Comment calculer la vitesse moyenne
Pour calculer la vitesse moyenne, on divise la distance parcourue par la durée du trajet. Il faut d’abord vérifier que les unités sont compatibles, par exemple des kilomètres et des heures.
Quelle formule utiliser pour trouver la distance parcourue
Pour trouver la distance, on multiplie la vitesse moyenne par la durée du trajet. Cette formule est utilisée lorsque la vitesse et le temps sont connus.
Comment calculer la durée d’un trajet
La durée se calcule en divisant la distance parcourue par la vitesse moyenne. Cette situation apparaît souvent dans les problèmes de proportionnalité.
Pourquoi faut-il convertir les minutes en heures
Les formules de la vitesse moyenne utilisent généralement les heures. Convertir les minutes en heures permet d’éviter les erreurs de calcul et d’obtenir un résultat correct.
La vitesse moyenne est-elle toujours une situation de proportionnalité
Oui, lorsque la vitesse est constante, la distance parcourue est proportionnelle à la durée. C’est cette relation qui permet d’utiliser les tableaux de proportionnalité.
